Jumat, 22 Oktober 2010

Rumus Matematika



Beberapa Benda Ruang Yang Beraturan
Matematika Kelas 3 > Geometri Ruang Dimensi Tiga
442
Kubus Tabung
rusuk kubus = a
volume = a³    panjang diagonal bidang = aÖ2
luas = 6a²      panjang diagonal ruang = aÖ3
r = jari-jari
t = tinggi
volume = p r² t       luas = 2prt


Prisma Kerucut
LA = luas alas
t = tinggi
volume = LA.t
r = jari-jari
t= tinggi
g = garis pelukis
volume = 1/3 pr²t          luas = prs


Limas Bola
LA = luas alas
t = tinggi
volume = 1/3 LA t
r =jari-jari
volume = 4/3 p
Limit Fungsi Trigonometri
Matematika Kelas 3 > Limit
433
KETENTUAN

Untuk x <<< ( x
® 0 ) maka sin x » x
(x <<< kecil sekali ;
» setara )

 l i m    sin x = 1             l i m   tg x = 1
x ® 0     x 
                   x ® 0    x

 l i m       x    = 1            l i m        x    = 1
x ® 0   sin  x 
                x ® 0     tg x


PERLUASAN
 l i m    sin ax = a/b       l i m     tg ax = a/b
x ® 0     bx 
                x ® 0     bx


 l i m       ax    = a/b       l i m       ax   = a/b

x ® 0   sin bx 
                x ® 0  tg bx


 l i m    sin ax = a/b       l i m     tg ax = a/b
x ® 0   sin bx 
                x ® 0 tg bx



 l i m    sin ax = a/b       l i m     tg ax = a/b
x ® 0   tg bx 
              x ® 0    sin bx


Rumus-rumus trigonometri yang sering digunakan untuk merubah fungsi:

cos x = sin (90° - x)
ctg x = tg (90° - x)
sin ax = 2 sin ½ax cos ½ax

cos ax = 1- 2 sin² ½ax
cos²x = 1 - sin²x



HAL-HAL KHUSUS


 l i m    axm + bxm-1 + ....   =
x ® ¥   pxn + qxn-1 + ...
¥    untuk m > n ;
a/p untuk m =n ;
0    untuk m < n
                                                   
l i m    Öax2 + bx + c  -    Ödx2 + ex + f
x ® ¥   
¥    untuk a > d ;
b-e untuk m =n ;
2Öa
-¥    untuk a < d
Bila salah satu suku belum berbentuk tanda akar maka dibentuk dengan cara mengkuadratkan kemudian menarik tanda akar.


DALIL L'HOSPITAL

Jika fungsi f dan g masing-masing terdifferensir pada titik x= a
dan f(a) = g(a) = 0 atau f(a) = g(a) = ¥ maka

 l i m    f(x)   = l i m    f(x)
x ® ¥  g(x)     x ® a   g(x)       


CONTOH LIMIT FUNGSI ALJABAR


1.  l i m   x2 - 5x + 6 = (3)2 - 5(3) + 6 = 0 
    x ® 3

2.  l i m    3x - 2   =  ¥   (*) Uraikan
    x ® ¥  2x + 1       ¥     

                 
x(3 - 2/x) = 3 - 2/x = 3 - 0 = 3
                 
x(2 - 1/x)    2 + 1/x   2 - 0    2
   
                 atau langsung gunakan hal khusus

3.  l i m    x2 - x - 1   =  ¥   (*) Uraikan
    x ® ¥   10x + 9         ¥     

                 
x(x - 1 - 1/x) = x - 1 - 1/x = ¥ - 1 - 0 = ¥ =¥
                 
x(10 - 9/x)       10 + 9/x        10 + 0      10

                 atau langsung gunakan hal khusus


4.  l i m    x2 - 3x + 2   =  0   (*) Uraikan
    x ® 2   x2 - 5x + 6       0    

                 
(x - 1)(x - 2) = (x - 1) = 2 - 1 = -1
                 (x - 3)(x - 2) = (x - 3) = 2 - 3

                 atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial


5.  l i m    x3 - 3x2 + 3x - 1   =  0   (*) Uraikan
    x ® 1       x2 - 5x + 6           0    

                 
     (x - 1)3     = (x - 1)2 = (1 - 1)2 = 0
                 
(x - 1) (x - 5)     (x + 5)     (1 + 5)     6

                 atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial


                                   
6.  l i m    Ö2 + x - Ö2x   =  0   (*) Hilangkan tanda akar dengan
    x ® 2       x - 2            0         mengalikan bentuk sekawan

                 
     (x - 1)3     = (x - 1)2 = (1 - 1)2 = 0 = 0
                 
(x - 1) (x - 5)     (x + 5)     (1 + 5)     6

                 atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial


                                       
7.  l i m   (3x - Ö9x2 + 4x)  = ¥ - ¥  (*) Hilangkan tanda akar
    x ® ¥       
                                                              
     l i m   (3x - Ö9x2 + 4x )  = é 3x - Ö9x2 + 4x ù =  (*) Hilangkan tanda
    x ®  ¥   ë 3x - Ö9x2 + 4x  û             akar

     l i m   (9x2 - (9x2 + 4x)  = l i m            -4x                =
    x ®  ¥    3x + Ö(9x2 + 4x)      x ®  ¥ 3x + 3x Ö[1+(a/9x)]

     l i m            -4             = -4 = -2
    x ®  ¥    3 + 3Ö(1 + 0)             6     3

                 atau langsung gunakan hal khusus

CONTOH LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI

1. l i m   sin 2x = 0 (*)
   x ® 0  tg 3x     0

              sin 2x = 3x    2 = 1 . 1 . 2 = 2
              2x     tg 3x 3             3    3

2. l i m   1 - cos 2x = 0
   x ® 0      sin 2x      0

               1 - (1 - 2 sin² 2x) =      2 sin² x   =  sin x = tg x = 0
               2 sin x cos x        2 sin x cos       cos x

3. l i m   1 - cos x = 0
   x ® 0       3x²      0

               2 sin² (½x) = sin (½x) . sin (½x) = 1 . 1 . 1 = 1
            3 . 4 . (½x)     6 (½x)      (½x)      6             6

           atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial
4. l i m   sin x - sin a = 0  (*)
   x ® 0       x - a        0

               2 cos ½(x+a) sin ½(x-a) = cos ½(x+a) . sin ½(x-a) =
                           x - a                         ½ (x - a )

            cos ½(x+a) . 1 = cos ½(a+a) . 1 = cos a
           atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial

Penggunaan
Matematika Kelas 3 > Differensial
435
1. MENENTUKAN KOEFISIEN ARAN GARIS SINGGUNG
    (Gradien) di titik
   (x1y1) pada kurva y = f(x)
   
m = f`(x1)
f`(x1) berarti nilai turunan f(x) pada titik dengan absis x = x1,

Ket :
Khusus untuk jenis fungsi kuadrat.
Jika titik tidak terletak pada grafik, maka gradien garis singgungnya dimisalkan dengan m yang dicari dengan menggunakan persamaan garis y - y1 = m (x - x1) disinggungkan dengan persamaan kurva y = f(x) dengan syarat D = 0 (D = diskriminan dari hasil eliminasi kedua persamaan)


2. MENENTUKAN MONOTON FUNGSI

• Fungsi y = f(x) monoton naik pada suatu interval,
                         jika pada interval itu berlaku f'(x) > 0

• Fungsi y = f(x) monoton turun pada suatu interval,
                         jika pada interval itu berlaku
f'(x) < 0


3. MENENTUKAN TITIK STASIONER

Fungsi y = f(x) ® Syarat stasioner f'(x) = 0

JENIS - JENISNYA


STASIONER :

MAKSIMUM

Syarat : f`(x) = 0 ® x = x0; f'' (x0) < 0 ® Titik maksimum (xo, f(xo))

MINIMUM
Syarat : f '(x) = 0 ® x = x0; f'' (x0) > 0 ® Titik Minimum (xo, f(xo))

BELOK
Syarat : f '(x) = 0 ® x = x0; f'' (x0) = 0 ® Titik belok (xo, f(xo))

Nilai Stasioner
adalah nilai fungsi di absis titik stasioner

Keterangan :

1. Untuk menentukan jenis jenis titik stasioner dapat juga dicari dengan    melihat perubahan tanda disekitar titik stasioner.
   Langkah :
   a. Tentukan absis titik stasioner dengan syarat f '(x) = 0 ® x = xo
   b. Buat garis bilangan f '(x)
   c. Tentukan tanda-tanda disekitar titik stasioner dengan        mensubstitusi sembarang titik pada f '(x)
   d. Jenis titik stasioner ditentukan oleh perubahan tanda di sekitar
       titik stasioner.

ket : f`(x) > 0 grafik naik
       f`(x) > 0 grafik turun

2. Nilai maksimum/minimum suatu fungsi dalam
interval tertutup didapat dari nilai stasioner fungsi dalam interval itu atau dari nilai fungsi pada ujung - ujung interval


4. MASALAH FISIKA

Jika S(t) = Jarak (fungsi waktu)
     
V(t) = Kecepatan (fungsi waktu)
      a(t) = Percepatan (fungsi waktu)
          t = waktu


maka V = dS/dt dan a = dV/dt

5.
MENYELESAIKAN MASALAH LIMIT

DALIL L'Hospital

Jika fungsi-fungsi f dan g masing-masing terdifferensir pada x = a dan f(a) = g(a) = 0 atau f(a) = g(a) = ¥ sehingga :

 lim         f(x)  =  0  atau   lim     f(x) = ¥, maka
x
®a       g(x)      0          x®a   g(x)   ¥

 lim         f(x)  =   lim     f`(x) = ¥, maka
x
®a       g(x)     x®a   g`(x)    ¥



Proyeksi
Matematika Kelas 3 > Geometri Ruang Dimensi Tiga
445
PROYEKSI TITIK PADA GARIS
Proyeksi sebuah titik P pada sebuah garis g dapat diperoleh dengan menarik garis tegak lurus dari titik P terhadap garis g. Perpotongan garis tegak lurus dari titik P dengan dengan garis g yaitu titik P' , disebut proyeksi titik P pada garis g.
P = titik yang diproyeksikan (proyektum)
P' = titik hasil proyeksi
PP' = garis yang memproyeksikan
g = garis yang menerima proyeksi (garis
      proyeksi) dan PP' g
PROYEKSI TITIK PADA BIDANG
Proyeksi sebuah titik P pada bidang V dapat diperoleh dengan menarik garis tegak lurus dari P ke bidang V. Perpotongan garis lurus dari P dengan bidang V, yaitu titik P' disebut sebagai proyeksi titik P pada bidang V.

P = titik yang diproyeksikan (proyektum)
P' = titik hasil proyeksi
PP' = garis yang memproyeksikan (proyektor)
V = bidang yang menerima proyeksi (bidang
      proyeksikan) dan PP' V)
PROYEKSI GARIS PADA BIDANG
Proyeksi sebuah garis g pada bidang V dapat diperoleh dengan membuat proyeksi titik-titik yang terletak pada garis g ke bidang V. Selanjutnya titik-titik proyeksi ini kita hubungkan, maka diperoleh proyeksi dari garis g, yaitu g'
Garis g = garis yang diproyeksikan
             (proyektum)

Bidang v = bidang yang menerima
               proyeksi (bidang proyeksi)

AA', BB', CC' = garis yang memproyeksi-
                    kan (proyektor)

Garis g' = proyeksi garis g pada bidang V

Bidang yang dibentuk oleh garis-garis proyektor yaitu bidang a disebut bidang proyektor.
GARIS TEGAK LURUS PADA SEBUAH BIDANG

• Sebuah garis tegak lurus bidang, jika garis tersebut tegak lurus dua
   garis yang berpotongan pada bidang tersebut.
• Garis g tegak lurus bidang V, berarti garis g tegak lurus pada setiap
   garis yang terletak pada bidang V.


< Sebelum Sesudah >
 

Integral Tak Tentu
Matematika Kelas 3 > Integral
437
1. RUMUS

FUNGSI ALJABAR
ò xn dx = 1/n+1 xn+1 + c ; n ¹ -1

FUNGSI TRIGONOMETRI
ò sin x dx  = - cos x + c
ò cos x dx = sin x + c

sifat-sifat:
a. ò c f(x) dx = c ò f(x) dx
b. ò ( f(x) ± g(x) ) dx = ò f(x) dx ± ò g(x) dx
c. jika    ò f(x) dx = F(x) + c
  
maka  ò
f(ax) dx = 1/a F(ax) + c
             ò
f(ax+b) dx = 1/a F(ax+b) + c

Perluasan :
ò
(ax + b)n dx = 1/a 1/(n+1) (ax + b)n+1 + c
ò
sin (ax + b) dx = -1/a cos (ax + b) + c
ò
cos (ax + b) dx = 1/a sin (ax + b) + c
CARA MENGINTEGRIR

a. SUBSTITUSI

     I =
ò f(x) dx
     substitusi : x = Q(u) ; dx = Q`(u) du
     I =
ò f(Q(u)) Q`(u) du
jika ruas kanan telah diintegrir, subtitusi kembali dengan fungsi invers dari x = Q(u)
(ket : Prinsipnya adalah merubah variabel sehingga rumus dapat digunakan)

b. SUBSTITUSI TRIGONOMETRI
                          
1. Bentuk Ö a2 - x2
    misalkan x = a sin
q ® q = arc sin x/a
                  dx = a cos
q dq

                                            
    
ò Ö a2 - x2 dx = a ò Ö 1 - sin2q (a cos q dq)
= a2
ò cos2q dq
= ½a2 ò (1 + cos2q) dq
= ½a2 (q + sinq cosq) + c
                                                               
= ½a2 ò [arc sin x + x
Öa2 - x2 ] + c
                                          a
   a      a
                                                                         
    ò Ö a2 - x2 dx = ½ a2 arc sin x/a + ½ x Ö a2 - x2 + c

                              
2. Bentuk
ò Öa2 + b2x2
    Gunakan substitusi : x = a/b tg
q
                                   dx = a/b sec2
q dq
                              
3. Bentuk ò Öb2x2 - a2
    Gunakan substitusi : x = a/b sec
q
                                   dx = a/b tg
q sec2q
     

c. PARSIIL

Yaitu mengenai integral dari suatu bentuk yang merupakan hasil
perkalian antara suatu fungsi x dengan turunan dari suatu fungsi x yang lain.

                   I  =
ò f(x) g(x) dx
Misalkan :  u = f(x)        ; dv = g(x) dx
                 
du = ..... dx   ;   v = ò g(x) dx = ..... maka :

                   ò u du = u v - ò v du

Pemisalan dibuat sedemikian sehingga bentuk
 ò v du jadi lebih mudah
Untuk
hal-hal khusus dapat digunakan cara TABULASI


Integral Tertentu
Matematika Kelas 3 > Integral
438
1. Pengertian

Bila suatu fungsi F(x) mempunyai turunan f(x), maka bila f(x) diintegrasikan pada selang (a, b) menjadi
a                   a
ò c dx = c(x) ï= F(b) - F(a)
b                   b

2. Sifat

           b                   b
a.     ò c dx = c(x) ï = c(b - c)                 c = konstanta
           a                   a

           b                  a
b.     ò f(x) dx = - ò f(x) dx                      c = batas ditukar
           a                   b

           a
c.     ò f(x) dx =  0                                  c = batas sama
           a

           b               a                b
d.     ò f(x) dx = ò f(x) dx  + ò f(x) dx       c = ( a < c < b)
< Sebelum Sesudah >
 
Bio
Fis
Kim
Mat
 
tips umptn
katanya sih sakit gigi lebih sakit dari pada nggak diterima di perguruan tinggi negeri
 
Download Macromedia Shockwave

supaya bisa liat

Tidak ada komentar:

Posting Komentar