Limit Fungsi Trigonometri
Matematika Kelas 3 > Limit | 433 |
|
KETENTUAN
Untuk x <<< ( x ® 0 ) maka sin x » x
(x <<< kecil sekali ; » setara )
l i m sin x = 1 l i m tg x = 1
x ® 0 x x ® 0 x
l i m x = 1 l i m x = 1
x ® 0 sin x x ® 0 tg x
PERLUASAN
l i m sin ax = a/b l i m tg ax = a/b
x ® 0 bx x ® 0 bx
l i m ax = a/b l i m ax = a/b
x ® 0 sin bx x ® 0 tg bx
l i m sin ax = a/b l i m tg ax = a/b
x ® 0 sin bx x ® 0 tg bx
l i m sin ax = a/b l i m tg ax = a/b
x ® 0 tg bx x ® 0 sin bx
Rumus-rumus trigonometri yang sering digunakan untuk merubah fungsi:
cos x = sin (90° - x)
ctg x = tg (90° - x)
sin ax = 2 sin ½ax cos ½ax
cos ax = 1- 2 sin² ½ax
cos²x = 1 - sin²x
HAL-HAL KHUSUS
l i m axm + bxm-1 + .... =
x ® ¥ pxn + qxn-1 + ...
| ¥ untuk m > n ;
a/p untuk m =n ;
0 untuk m < n |
l i m Öax2 + bx + c - Ödx2 + ex + f
x ® ¥ | ¥ untuk a > d ;
b-e untuk m =n ;
2Öa
-¥ untuk a < d |
Bila salah satu suku belum berbentuk tanda akar maka dibentuk dengan cara mengkuadratkan kemudian menarik tanda akar.
DALIL L'HOSPITAL
Jika fungsi f dan g masing-masing terdifferensir pada titik x= a
dan f(a) = g(a) = 0 atau f(a) = g(a) = ¥ maka
l i m f(x) = l i m f(x)
x ® ¥ g(x) x ® a g(x)
CONTOH LIMIT FUNGSI ALJABAR
1. l i m x2 - 5x + 6 = (3)2 - 5(3) + 6 = 0
x ® 3
2. l i m 3x - 2 = ¥ (*) Uraikan
x ® ¥ 2x + 1 ¥
x(3 - 2/x) = 3 - 2/x = 3 - 0 = 3
x(2 - 1/x) 2 + 1/x 2 - 0 2
atau langsung gunakan hal khusus
3. l i m x2 - x - 1 = ¥ (*) Uraikan
x ® ¥ 10x + 9 ¥
x(x - 1 - 1/x) = x - 1 - 1/x = ¥ - 1 - 0 = ¥ =¥
x(10 - 9/x) 10 + 9/x 10 + 0 10
atau langsung gunakan hal khusus
4. l i m x2 - 3x + 2 = 0 (*) Uraikan
x ® 2 x2 - 5x + 6 0
(x - 1)(x - 2) = (x - 1) = 2 - 1 = -1
(x - 3)(x - 2) = (x - 3) = 2 - 3
atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial
5. l i m x3 - 3x2 + 3x - 1 = 0 (*) Uraikan
x ® 1 x2 - 5x + 6 0
(x - 1)3 = (x - 1)2 = (1 - 1)2 = 0
(x - 1) (x - 5) (x + 5) (1 + 5) 6
atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial
6. l i m Ö2 + x - Ö2x = 0 (*) Hilangkan tanda akar dengan
x ® 2 x - 2 0 mengalikan bentuk sekawan
(x - 1)3 = (x - 1)2 = (1 - 1)2 = 0 = 0
(x - 1) (x - 5) (x + 5) (1 + 5) 6
atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial
7. l i m (3x - Ö9x2 + 4x) = ¥ - ¥ (*) Hilangkan tanda akar
x ® ¥
l i m (3x - Ö9x2 + 4x ) = é 3x - Ö9x2 + 4x ù = (*) Hilangkan tanda
x ® ¥ ë 3x - Ö9x2 + 4x û akar
l i m (9x2 - (9x2 + 4x) = l i m -4x =
x ® ¥ 3x + Ö(9x2 + 4x) x ® ¥ 3x + 3x Ö[1+(a/9x)]
l i m -4 = -4 = -2
x ® ¥ 3 + 3Ö(1 + 0) 6 3
atau langsung gunakan hal khusus
CONTOH LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
1. l i m sin 2x = 0 (*)
x ® 0 tg 3x 0
sin 2x = 3x 2 = 1 . 1 . 2 = 2
2x tg 3x 3 3 3
2. l i m 1 - cos 2x = 0
x ® 0 sin 2x 0
1 - (1 - 2 sin² 2x) = 2 sin² x = sin x = tg x = 0
2 sin x cos x 2 sin x cos cos x
3. l i m 1 - cos x = 0
x ® 0 3x² 0
2 sin² (½x) = sin (½x) . sin (½x) = 1 . 1 . 1 = 1
3 . 4 . (½x) 6 (½x) (½x) 6 6
atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial
4. l i m sin x - sin a = 0 (*)
x ® 0 x - a 0
2 cos ½(x+a) sin ½(x-a) = cos ½(x+a) . sin ½(x-a) =
x - a ½ (x - a )
cos ½(x+a) . 1 = cos ½(a+a) . 1 = cos a
atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial |
|
|
Penggunaan
Matematika Kelas 3 > Differensial | 435 |
|
1. MENENTUKAN KOEFISIEN ARAN GARIS SINGGUNG
(Gradien) di titik (x1y1) pada kurva y = f(x)
m = f`(x1) | |
f`(x1) berarti nilai turunan f(x) pada titik dengan absis x = x1,
Ket :
Khusus untuk jenis fungsi kuadrat. Jika titik tidak terletak pada grafik, maka gradien garis singgungnya dimisalkan dengan m yang dicari dengan menggunakan persamaan garis y - y1 = m (x - x1) disinggungkan dengan persamaan kurva y = f(x) dengan syarat D = 0 (D = diskriminan dari hasil eliminasi kedua persamaan)
2. MENENTUKAN MONOTON FUNGSI
• Fungsi y = f(x) monoton naik pada suatu interval,
jika pada interval itu berlaku f'(x) > 0
• Fungsi y = f(x) monoton turun pada suatu interval,
jika pada interval itu berlaku f'(x) < 0
3. MENENTUKAN TITIK STASIONER
Fungsi y = f(x) ® Syarat stasioner f'(x) = 0
JENIS - JENISNYA
STASIONER :
MAKSIMUM
Syarat : f`(x) = 0 ® x = x0; f'' (x0) < 0 ® Titik maksimum (xo, f(xo))
MINIMUM
Syarat : f '(x) = 0 ® x = x0; f'' (x0) > 0 ® Titik Minimum (xo, f(xo))
BELOK
Syarat : f '(x) = 0 ® x = x0; f'' (x0) = 0 ® Titik belok (xo, f(xo))
Nilai Stasioner adalah nilai fungsi di absis titik stasioner
Keterangan :
1. Untuk menentukan jenis jenis titik stasioner dapat juga dicari dengan melihat perubahan tanda disekitar titik stasioner.
Langkah :
a. Tentukan absis titik stasioner dengan syarat f '(x) = 0 ® x = xo
b. Buat garis bilangan f '(x)
c. Tentukan tanda-tanda disekitar titik stasioner dengan mensubstitusi sembarang titik pada f '(x)
d. Jenis titik stasioner ditentukan oleh perubahan tanda di sekitar
titik stasioner.
ket : f`(x) > 0 grafik naik
f`(x) > 0 grafik turun
2. Nilai maksimum/minimum suatu fungsi dalam interval tertutup didapat dari nilai stasioner fungsi dalam interval itu atau dari nilai fungsi pada ujung - ujung interval
4. MASALAH FISIKA
Jika S(t) = Jarak (fungsi waktu)
V(t) = Kecepatan (fungsi waktu)
a(t) = Percepatan (fungsi waktu)
t = waktu
maka V = dS/dt dan a = dV/dt
5. MENYELESAIKAN MASALAH LIMIT
DALIL L'Hospital
Jika fungsi-fungsi f dan g masing-masing terdifferensir pada x = a dan f(a) = g(a) = 0 atau f(a) = g(a) = ¥ sehingga :
lim f(x) = 0 atau lim f(x) = ¥, maka
x®a g(x) 0 x®a g(x) ¥
lim f(x) = lim f`(x) = ¥, maka
x®a g(x) x®a g`(x) ¥ |
|
|
|
|
|
|
Integral Tak Tentu
Matematika Kelas 3 > Integral | 437 |
|
|
Integral Tertentu
Matematika Kelas 3 > Integral | 438 |
|
1. Pengertian
Bila suatu fungsi F(x) mempunyai turunan f(x), maka bila f(x) diintegrasikan pada selang (a, b) menjadi
a a
ò c dx = c(x) ï= F(b) - F(a)
b b
2. Sifat
b b
a. ò c dx = c(x) ï = c(b - c) c = konstanta
a a
b a
b. ò f(x) dx = - ò f(x) dx c = batas ditukar
a b
a
c. ò f(x) dx = 0 c = batas sama
a
b a b
d. ò f(x) dx = ò f(x) dx + ò f(x) dx c = ( a < c < b) |
|
< Sebelum Sesudah > |
| |
|
|
|
tips umptn katanya sih sakit gigi lebih sakit dari pada nggak diterima di perguruan tinggi negeri |
|
Download Macromedia Shockwave
supaya bisa liat |
|
|
| | | | | |
|